Buổi 7: Phương trình hàm Logarit

II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương trình logarit cơ bản

Phương trình có dạng ${\log }_{a}x=b$ $\left(0<a\ne 1\right)$

Ta có: ${\log }_{a}x=b\iff x=a^b$.

Phương trình luôn có nghiệm $x=a^b$.

Ví dụ: Giải phương trình ${\log }_{5}x=-2$.

Ta có: ${\log }_{5}x=-2\iff x=5^{-2}\iff x=\frac{1}{25}$.

2. Cách giải một số phương trình logarit

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình ${\log }_{2}x+{\log }_{4}x=1$

Ta có:

$\begin{array}{c}{\log }_{2}x+{\log }_{4}x=1\\ \iff {\log }_{2}x+\frac{1}{2}{\log }_{2}x=1\\ \iff \frac{3}{2}{\log }_{2}x=1\\ \iff {\log }_{2}x=\frac{2}{3}\\ \iff x=2^{\frac{2}{3}}\\ \iff x=\sqrt[3]{34}\end{array}$

b) Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình $\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{\ln x-1}=\frac{5}{6}$.

ĐK: $\{\begin{array}{c}x>0\\ \ln x\ne 0\\ \ln x\ne 1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x>0\\ x\ne 1\\ x\ne e\end{array}$

Đặt $t=\ln x\left(t\ne 0,t\ne 1\right)$ ta được:

$\begin{array}{c}\frac{1}{t}+\frac{1}{t-1}=\frac{5}{6}\\ \iff \frac{6t-6+6t}{6t\left(t-1\right)}=\frac{5t\left(t-1\right)}{6t\left(t-1\right)}\\ \Rightarrow 12t-6=5t^2-5t\\ \iff 5t^2-17t+6=0\\ \iff [\begin{array}{c}t=3\\ t=\frac{2}{5}\end{array}\left(TM\right)\\ \Rightarrow [\begin{array}{c}\ln x=3\\ \ln x=\frac{2}{5}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=e^3\\ x=e^{\frac{2}{5}}\end{array}\left(TM\right)\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{e^3;e^{\frac{2}{5}}\right\}$.

c) Mũ hóa

Ví dụ: Giải phương trình ${\log }_3\left(3-3^x\right)=1+x$

ĐK: $3-3^x>0\iff 3^x<3\iff x<1$

Ta có:

$\begin{array}{c}{\log }_3\left(3-3^x\right)=1+x\\ \iff 3-3^x=3^{1+x}\\ \iff 3-3^x={3.3}^x\\ \iff 3={4.3}^x\\ \iff 3^x=\frac{3}{4}\\ \iff x={\log }_3\frac{3}{4}\\ \iff x=1-{\log }_{3}4\left(TM\right)\end{array}$