Buổi 6: Phương trình hàm số mũ

1. Phương trình mũ cơ bản và phương trình lôgarit cơ bản

I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình có dạng $a^{x} = b (0 < a \neq 1)$

+) Với $b > 0$ ta có $a^{x} = b \Leftrightarrow x = \log_{a} b$ .

+) Với $b \leq 0$ phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $5^{x} = 125$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} 5^{x} = 125 \\ \Leftrightarrow x = \log_{5} 125 \\ \Leftrightarrow x = 3 \end{array}$

2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình ${(\frac{1}{2})}^{2 x - 1} = 2^{3 x}$

Ta có:

$\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{2 x - 1} = 2^{3 x} \\ \Leftrightarrow 2^{- 2 x + 1} = 2^{3 x} \\ \Leftrightarrow - 2 x + 1 = 3 x \\ \Leftrightarrow 1 = 5 x \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{5} \end{array}$

b) Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình $4^{x} - 2^{x + 1} + 1 = 0$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} 4^{x} - 2^{x + 1} + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow {(2^{x})}^{2} - {2.2}^{x} + 1 = 0 \end{array}$

Đặt $t = 2^{x} > 0$ ta được:

$\begin{array}{l} t^{2} - 2 t + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow {(t - 1)}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow t - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow t = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2^{x} = 1 \\ \Leftrightarrow x = \log_{2} 1 \\ \Leftrightarrow x = 0 \end{array}$

c) Logarit hóa

Ví dụ: Giải phương trình $3^{x} {.2}^{x^{2}} = 1$ .

Logarit hai vế cơ số $3$ ta được:

$\begin{array}{l} \log_{3} (3^{x} {.2}^{x^{2}}) = \log_{3} 1 \\ \Leftrightarrow \log_{3} 3^{x} + \log_{3} 2^{x^{2}} = 0 \\ \Leftrightarrow x + x^{2} \log_{3} 2 = 0 \\ \Leftrightarrow x (1 + x \log_{3} 2) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 1 + x \log_{3} 2 = 0 \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - \frac{1}{\log_{3} 2} = - \log_{2} 3 \end{array} \end{array}$

d) Đưa về phương trình tích.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)

– Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích $A B = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} A = 0 \\ B = 0 \end{array}$

– Bước 3: Giải các phương trình $A = 0, B = 0$ tìm nghiệm.

– Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.

e) Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

– Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến.

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng $f (u) = f (v)$ với $f$ là hàm số đơn điệu.

– Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên.

– Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình.