Buổi 2: Hàm số lũy thừa (Tiếp)

5. Đạo hàm của căn thức

Hàm số $y=\sqrt[n]{nx}$ có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa $y=x^{\frac{1}{n}}$ (tập xác định của $y=\sqrt[n]{nx}$ chứa tập xác định của $y=x^{\frac{1}{n}}$ và trên tập xác định của $y=x^{\frac{1}{n}}$ thì hai hàm số trùng nhau).

Khi $n$ lẻ thì hàm số $y=\sqrt[n]{nx}$ có tập xác định $R$. Trên khoảng $(0;+\infty )$ ta có $y=\sqrt[n]{nx}=x^{\frac{1}{n}}$ và ${\left(x^{\frac{1}{n}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{n}{x}^{\frac{1}{n}-1}$, do đó ${\left(\sqrt[n]{nx}\right)}^{\prime }=\frac{1}{n\sqrt[n]{n{x}^{n-1}}}$.

Công thức này còn đúng cả với $x<0$ và hàm số $y=\sqrt[n]{nx}$ không có đạo hàm tại $x=0$.

Khi $n$ chẵn hàm $y=\sqrt[n]{nx}$ có tập xác định là $[0;+\infty )$, không có đạo hàm tại $x=0$ và có đạo hàm tại mọi $x>0$ tính theo công thức:

$${\left(\sqrt[n]{nx}\right)}^{\prime }={\left(\sqrt[n]{nx}\right)}^{\prime }=\frac{1}{n\sqrt[n]{n{x}^{n-1}}}$$

Tóm lại, ta có ${\left(\sqrt[n]{nx}\right)}^{\prime }={\left(\sqrt[n]{nx}\right)}^{\prime }=\frac{1}{n\sqrt[n]{n{x}^{n-1}}}$ đúng với mọi $x$ làm cho hai vế có nghĩa.

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu $u=u\left(x\right)$ là hàm có đạo hàm trên khoảng $J$ và thỏa mãn điều kiện $u\left(x\right)>0,\forall x\in J$ khi $n$ chẵn, $u\left(x\right)\ne 0,\forall x\in J$ khi $n$ lẻ thì

$$\forall x\in J,{\left(\sqrt[n]{nu\left(x\right)}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }\left(x\right)}{n\sqrt[n]{n{u}^{n-1}\left(x\right)}}$$

6. Đồ thị hàm số $y=x^{\alpha }$ trên khoảng $(0;+\infty )$

Chú ý: Khi khảo sát hàm số $y=x^{\alpha }$ với $\alpha$ cụ thể, cần xét hàm số trên toàn tập xác định của nó (chứ không phải chỉ xét trên khoảng $(0;+\infty )$ như trên).